С чего сделать птичник


Данная статья – это вторая часть урока Уравнения в прямой пространстве. Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Едем дальше:


Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые  пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай №1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же №№2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой  и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой  и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:
Взаимное расположение прямых в пространстве
На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются, то векторы  не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов будет отлично от нуля: .

В случаях №№2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы  компланарны, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы  не коллинеарны, то прямые пересекаются. Как проверить два вектора на коллинеарность, подробно рассмотрено в той же статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Если направляющие векторы  коллинеарны, то  прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы  компланарны, а значит, прямые  лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы  на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые  параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ:

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны ;-)


Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для  нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.


Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние  между прямыми.

Решение: Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы   не компланарны, а значит, прямые  скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку  и  перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:
Прямая пространства, перпендикулярная двум данным прямым
Для разнообразия я разместил прямую  ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая  должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор  будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера №9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке   и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки  в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор  действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:
Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

Вот наш красавец:  – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам  соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Или:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка  принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении  её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор ,  будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников. Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы  коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

 

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения  в наши точки:

 

Направляющий вектор  особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

Подставим координаты точки  в уравнения :

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки  в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой  по точке  (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра  найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй. На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию  между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
Формула расстояния между двумя прямыми в пространстве (вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ:
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:


Пересекающиеся прямые в пространстве

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:
Пересекающиеся прямые в пространстве

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу  же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере №7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве). А сами прямые, к слову, я взял из Примера №12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых  принадлежит прямой , поэтому её координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере №12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра   в уравнения:

Ответ:

Для проверки подставим найденное значение параметра  в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки  и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку  найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой  (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки  до прямой .

Примечание: оговорка «прямые пересекаются» –  существенна. Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных  прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку  проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым  (см. Пример №13, пункт «б»). 

а) Решение: Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Перпендикулярные прямые в пространстве

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку  с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:  

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы  – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:
 

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ:

Примечание: более строгая концовка  решения оформляется  так: составим уравнения прямой по точке  и направляющему вектору . Действительно, если вектор  является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.
Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки  в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение: Найдём расстояние от точки  до прямой .

Способ первый. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй. В практических задачах основание перпендикуляра  частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки  до прямой  выражается формулой:
Формула расстояния от точки до прямой в пространстве, где – направляющий вектор прямой «эль», а  – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

Решаем:

1) Из уравнений прямой  достаём направляющий вектор  и самую доступную точку .

2) Точка  известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Ответ:

После разобранной задачи вам не составит труда разобраться в следующем примере:

Пример 16

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти высоту  и её длину.

Это пример для самостоятельного решения. Не забывайте выполнять схематические чертёжи! Полное решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа рассмотрим угол:

Как найти угол между прямыми в пространстве?

Рисунка приводить не буду, думаю, всем понятно, что это за угол.

Понятие угла в пространстве определено не только для пересекающихся прямых, но и для скрещивающихся прямых. Угол «альфа» между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. А формула едина и хорошо вам знакома:

, где  – направляющие векторы двух пересекающихся либо скрещивающихся пространственных прямых.

В частности, если , то прямые перпендикулярны.

Приведённая формула может дать любой угол от 0 до 180 градусов включительно, и многие авторитетные авторы учебников по геометрии углом между пространственными прямыми называют каждый из 4 углов. Однако на практике, как и в случае угла между «плоскими» прямыми, от вас, скорее всего, потребуют острый угол (что, в общем-то, логично). Поэтому если вы получили по формуле тупой угол, например, 120 градусов, то от греха подальше, внесите дополнение, что угол между прямыми равен: 180 – 120 = 60 градусов

В примерах особого смысла нет, сильно сомневаюсь, что кто-то неправильно найдёт направляющие векторы пространственных прямых по их уравнениям. А практические задачи на применение самой формулы можно посмотреть, например, в статье Скалярное произведение векторов.

Скоро-скоро грядут задачи на плоскость и прямую в пространстве, поэтому немного освежаем материал об уравнении плоскости. В контексте параграфа полезен следующий вопрос: определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость в пространстве? Да, конечно, если даны две пересекающиеся прямые, то они однозначно определят плоскость, в которой лежат. Уравнение данной плоскости можно составить по двум направляющим векторам и какой-нибудь точке, принадлежащей любой из прямых.


Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые пространства, как и пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости:
Параллельные прямые в пространстве

Что сразу можно сказать? Они не пересекаются, и у них один и тот же направляющий вектор.

В начале этой статьи я зарубил четырёхглавого дракона, ловите мой меч-кладенец, вас поджидает стандартный шестиглазый зверь:

Пример 17

Дана прямая . Требуется:

а) построить прямую , параллельную данной и проходящую через точку

б) будут ли параллельные прямые  однозначно определять плоскость в пространстве? Если да, то составить уравнение данной плоскости;

в) найти расстояние между параллельными прямыми.

Постарайтесь самостоятельно, не заглядывая в образец решения, выполнить предложенные задания.

Вот, пожалуй, и все основные задачи с пространственными прямыми. После изучения уравнения плоскости и уравнений прямой в пространстве, можно приступить к рассмотрению задач на прямую и плоскость, они вряд ли покажутся вам сложнее.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 12: Решение:
1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров :

2) Найдём вектор:
3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, прямые  могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Исследуем направляющие векторы  на коллинеарность:
, следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются.
Ответ:

Пример 16: Решение: 1) Выполним схематический чертёж:
Высота треугольника в пространстве
2) Найдём вектор .
3) Запишем параметрические уравнения прямой  по точке  и направляющему вектору :

4) Точка , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой: .
5) Найдём вектор .
6) Так как  – высота треугольника, то  и:

7) Найдём точку:   
Точка  совпала с точкой , значит, высота  совпадает со стороной , и треугольник является прямоугольным.
8) Найдём вектор .
9) Составим уравнения высоты  (катета ) по точке  и направляющему вектору :

10) Найдём длину высоты  как длину вектора :

Ответ:

Пример 17: Решение:
а) Из уравнений прямой  найдём её направляющий вектор: . Уравнения прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

б) Да, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они лежат.
Точка  принадлежит первой прямой.
Найдём вектор:
с чего сделать птичник Уравнение искомой плоскости составим по точке  и двум неколлинеарным векторам :

в) Расстояние между параллельными прямыми   найдём как расстояние от точки до прямой:  (формула из Примера №15).

Таким образом:

Ответ:
а)
б) да,

в)

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

С чего сделать птичник


Данная статья – это вторая часть урока Уравнения в прямой пространстве. Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Едем дальше:


Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые  пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай №1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же №№2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой  и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой  и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:
Взаимное расположение прямых в пространстве
На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если с чего сделать птичник прямые скрещиваются, то векторы  не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов будет отлично от нуля: .

В случаях №№2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы  компланарны, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы  не коллинеарны, то прямые пересекаются. Как проверить два вектора на коллинеарность, подробно рассмотрено в той же статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Если направляющие векторы  коллинеарны, то  прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы  компланарны, а значит, прямые  лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы  на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые  параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ:

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны ;-)


Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для  нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.


Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние  между прямыми.

Решение: Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы   не компланарны, а значит, прямые  скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку  и  перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:
Прямая пространства, перпендикулярная двум данным прямым
Для разнообразия я разместил прямую  ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая  должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор  будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера №9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке   и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки  в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор  действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:
Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

Вот наш красавец:  – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам  соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Или:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка  принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении  её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор ,  будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников. Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы  коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

 

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения  в наши точки:

 

Направляющий вектор  особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

Подставим координаты точки  в уравнения :

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки  в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой  по точке  (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра  найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй. На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию  между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
Формула расстояния между двумя прямыми в пространстве (вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ:
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:


Пересекающиеся прямые в пространстве

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:
Пересекающиеся прямые в пространстве

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу  же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере №7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве). А сами прямые, к слову, я взял из Примера №12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых  принадлежит прямой , поэтому её координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере №12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра   в уравнения:

Ответ:

Для проверки подставим найденное значение параметра  в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки  и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку  найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой  (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки  до прямой .

Примечание: оговорка «прямые пересекаются» –  существенна. Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных  прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку  проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым  (см. Пример №13, пункт «б»). 

а) Решение: Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Перпендикулярные прямые в пространстве

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку  с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:  

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы  – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:
 

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ:

Примечание: более строгая концовка  решения оформляется  так: составим уравнения прямой по точке  и направляющему вектору . Действительно, если вектор  является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.
Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки  в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение: Найдём расстояние от точки  до прямой .

Способ первый. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй. В практических задачах основание перпендикуляра  частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки  до прямой  выражается формулой:
Формула расстояния от точки до прямой в пространстве, где – направляющий вектор прямой «эль», а  – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

Решаем:

1) Из уравнений прямой  достаём направляющий вектор  и самую доступную точку .

2) Точка  известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Ответ:

После разобранной задачи вам не составит труда разобраться в следующем примере:

Пример 16

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти высоту  и её длину.

Это пример для самостоятельного решения. Не забывайте выполнять схематические чертёжи! Полное решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа рассмотрим угол:

Как найти угол между прямыми в пространстве?

Рисунка приводить не буду, думаю, всем понятно, что это за угол.

Понятие угла в пространстве определено не только для пересекающихся прямых, но и для скрещивающихся прямых. Угол «альфа» между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. А формула едина и хорошо вам знакома:

, где  – направляющие векторы двух пересекающихся либо скрещивающихся пространственных прямых.

В частности, если , то прямые перпендикулярны.

Приведённая формула может дать любой угол от 0 до 180 градусов включительно, и многие авторитетные авторы учебников по геометрии углом между пространственными прямыми называют каждый из 4 углов. Однако на практике, как и в случае угла между «плоскими» прямыми, от вас, скорее всего, потребуют острый угол (что, в общем-то, логично). Поэтому если вы получили по формуле тупой угол, например, 120 градусов, то от греха подальше, внесите дополнение, что угол между прямыми равен: 180 – 120 = 60 градусов

В примерах особого смысла нет, сильно сомневаюсь, что кто-то неправильно найдёт направляющие векторы пространственных прямых по их уравнениям. А практические задачи на применение самой формулы можно посмотреть, например, в статье Скалярное произведение векторов.

Скоро-скоро грядут задачи на плоскость и прямую в пространстве, поэтому немного освежаем материал об уравнении плоскости. В контексте параграфа полезен следующий вопрос: определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость в пространстве? Да, конечно, если даны две пересекающиеся прямые, то они однозначно определят плоскость, в которой лежат. Уравнение данной плоскости можно составить по двум направляющим векторам и какой-нибудь точке, принадлежащей любой из прямых.


Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые пространства, как и пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости:
Параллельные прямые в пространстве

Что сразу можно сказать? Они не пересекаются, и у них один и тот же направляющий вектор.

В начале этой статьи я зарубил четырёхглавого дракона, ловите мой меч-кладенец, вас поджидает стандартный шестиглазый зверь:

Пример 17

Дана прямая . Требуется:

а) построить прямую , параллельную данной и проходящую через точку

б) будут ли параллельные прямые  однозначно определять плоскость в пространстве? Если да, то составить уравнение данной плоскости;

в) найти расстояние между параллельными прямыми.

Постарайтесь самостоятельно, не заглядывая в образец решения, выполнить предложенные задания.

Вот, пожалуй, и все основные задачи с пространственными прямыми. После изучения уравнения плоскости и уравнений прямой в пространстве, можно приступить к рассмотрению задач на прямую и плоскость, они вряд ли покажутся вам сложнее.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 12: Решение:
1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров :

2) Найдём вектор:
3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, прямые  могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Исследуем направляющие векторы  на коллинеарность:
, следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются.
Ответ:

Пример 16: Решение: 1) Выполним схематический чертёж:
Высота треугольника в пространстве
2) Найдём вектор .
3) Запишем параметрические уравнения прямой  по точке  и направляющему вектору :

4) Точка , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой: .
5) Найдём вектор .
6) Так как  – высота треугольника, то  и:

7) Найдём точку:   
Точка  совпала с точкой , значит, высота  совпадает со стороной , и треугольник является прямоугольным.
8) Найдём вектор .
9) Составим уравнения высоты  (катета ) по точке  и направляющему вектору :

10) Найдём длину высоты  как длину вектора :

Ответ:

Пример 17: Решение:
а) Из уравнений прямой  найдём её направляющий вектор: . Уравнения прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

б) Да, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они лежат.
Точка  принадлежит первой прямой.
Найдём вектор:
Уравнение искомой плоскости составим по точке  и двум неколлинеарным векторам :

в) Расстояние между параллельными прямыми   найдём как расстояние от точки до прямой:  (формула из Примера №15).

Таким образом:

Ответ:
а)
б) да,

в)

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Психологические вопросы узнать себя

Прежде чем завести утят, необходимо определить их количество, которое напрямую связано с площадью их размещения. Многие не обращают на этот нюанс внимание, думая, что стены и крыша являются достаточными условиями для содержания птицы. Мы расскажем о принципах возведения дома-утятника своими руками, поскольку создание.

С чего сделать птичник

Как построить сарай для скотины своими руками с минимальными

С чего сделать птичник

Утки выщипывают перья друг у друга: как с этим бороться

С чего сделать птичник

Утятник своими руками - пошаговая инструкция с фото

С чего сделать птичник

Бытовки для дачи, дачные домики, дачные бытовки от

С чего сделать птичник

Отзывы о : Этномир - Отдых с детьми

С чего сделать птичник

Харуки Мураками. Норвежский Лес

С чего сделать птичник

С.Т. Шацкий. Бодрая жизнь

С чего сделать птичник

Как сделать будку для

С чего сделать птичник

ЛПХ

С чего сделать птичник

100 Заговоров и приворотов. Сглаз и порча. 100